67 {89,7; 124,2}, so dass ein Anleiheinvestor über diesen Anlagehorizont auch mit beträchtlichen positiven und negativen Wertänderungen rechnen muss. Noch wesentlich ausgeprägter sind diese Wertänderungen bei einer Aktienanlage. Der Mittelwert wird durch die positive Drift der Aktienindizes bestimmt und steigt im Falle deutscher Aktien durchschnittlich um 9,90% pro Jahr an, bei einer weltweiten Aktienanlage beträgt dieser Anstieg 8,90% pro Jahr. Die Standardabweichungen sind schon für eine 1-Jahresanlage mit 583,70 (Deutschland) und 399,00 (Welt) ganz beträchtlich und steigen bei fünf Jahren Anlagehorizont auf 2.052,8 beziehungsweise 1.295,7 an. Der Aktienindex Welt weist sowohl eine geringere Wachstumsrate als auch eine niedrigere Schwankungsbreite auf. Die Relation von Wachstumsrate zu Standardabweichung ist für den Welt-Aktienindex höher als für deutsche Aktien. Dies zeigt sich auch an den Volatilitätszeitreihen, die aus gleitenden 12- Monatswerten berechnet sind. Für beide Zeitreihen wird eine Zunahme über den Prognosezeitraum vorhergesagt, die eine Annäherung an den jeweils deutlich höher liegenden historischen Durchschnitt bewirkt. Die Volatilität des Aktienindex Deutschland ist wesentlich höher als die des Weltindex. Auch die Schwankungsbreite im Prognosezeitraum ist für die deutsche Volatilität erheblich größer. Da beide Zeitreihen für die Bewertung von Put-Optionen verwendet werden, sind die Put-Optionen auf deutsche Aktien unter sonst gleichen Bedingungen teuerer als die für Aktien Welt. 3.4 Ergebnisse der Simulationen für die Anlagestrategien 3.4.1 Methoden der Performancemessung Das in Abschnitt 3.3.3 dargestellte Modell wird für die Simulation von Anlagestrategien deutscher Stiftungen verwendet. Dazu werden – wie zuvor beschrieben – für alle Variablen des Modells 10.000 simulierte Zeitreihen für den zukünftigen Zeitraum von 1 bis 20 Quartalen erzeugt. Die prognostizierten Variablen – Zinsen, Dividendenrenditen, Anleiheindex, Aktienindizes und Volatilitäten – werden dazu verwendet, verschiedene Anlagestrategien zu simulieren. Für jedes dieser Portfolios liegen dann ebenfalls 10.000 Zeitreihen für die Periode von t + 1 bis t + 20 Quartalen vor, auf deren Basis eine umfassende Analyse und Bewertung der Strategien vorgenommen wird. Diese Portfoliobewertung erfolgt mithilfe von bestimmten statistischen Kennzahlen, die speziell auf die Situation deutscher Stiftungen angepasst werden. Das klassische Performancemaß, das sich aus dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) ergibt, ist die Sharpe-Ratio. Es ist folgendermaßen definiert: ( )fSR rµ ?= ? , wobei µ der mittlere Ertrag des Portfolios ist, fr bezeichnet den risikolosen Zins und ? ist die Standardabweichung, die das Risiko des Portfolios abbildet. Die Sharpe-Ratio bemisst den Ertrag des Portfolios als Differenz zum risikolosen 68 Zins und verwendet als Risikomaß die Volatilität des Portfolios. Im CAPM hat das Marktportfolio, das alle risikobehafteten Anlageobjekte enthält, die höchstmögliche Sharpe-Ratio. Sie wird häufig dazu verwendet, den risikoadjustierten Ertrag verschiedener Portfolios miteinander zu vergleichen. Unter den Annahmen, dass die Portfoliorenditen normal verteilt sind und keine weiteren Faktoren außer dem Marktportfolio einen signifikanten Einfluss auf die Portfoliorenditen haben, ist die Sharpe-Ratio das geeignete Performancemaß. Für Stiftungen sind die Sharpe-Ratio und die Standardabweichung aus zwei Gründen weniger gut geeignet, um die Performance beziehungsweise das Risiko zu messen. Die stiftungsrechtlichen Bestimmungen zeigen, dass der Bestand des Vermögens nominal oder real dauerhaft zu erhalten ist. Dadurch ist für den Vermögensmanager einer Stiftung das Portfoliorisiko asymmetrisch definiert, als nominale oder reale Unterschreitung des Anfangsvermögens. Die Standardabweichung kann in diesem Falle nur dann als Riskomaß verwendet werden, wenn die Portfoliorenditen normal verteilt sind. Der Stiftungsmanager hat den Anreiz, die Dichtefunktion der Portfoliorenditen durch Absicherungsmaßnahmen (zum Beispiel durch Put-Optionen, CPPI-Strategie) rechtsschief zu verteilen.61 Dadurch wird das Verlustpotenzial im Sinne extrem hoher Verluste vermindert, während das Gewinnpotenzial weitgehend erhalten bleibt, da weiterhin sehr hohe Gewinne möglich sind. In rechtsschiefen Verteilungen nimmt die Wahrscheinlichkeit für Ausprägungen unterhalb des Mittelwertes zu. Für asymmetrische Renditeverteilungen sind sogenannte Downside-Risk-Maße besonders gut geeignet. Sie werden auch als Lower-Partial-Moments (LPM) bezeichnet, da die Momente der Verteilung über Teilbereiche der Verteilung gemessen werden. LPM messen Risiko konkret als die Unterschreitung eines vorgegebenen Zielwertes. Die allgemeine Definition ist: ( ; ) [( ) ], ( ) ( ) n n z n LPM z F E z r r z z r dF r ?? = ? ? = ?? Dabei bezeichnet z den Zielwert, unterhalb dessen Risiko definiert ist; n ist ein Parameter, der angibt, wie stark die Abweichungen vom Zielwert gewichtet werden. Für n = 0 gibt das Risikomaß an, wie häufig der Zielwert unterschritten wird, bei n = 1 wird der Erwartungswert der Zielverfehlung berechnet und für n = 2 die Varianz der Verteilung unterhalb Zielrendite.62 61 Siehe hierzu die Ausführungen in Abschnitt 3.3.2 zu dynamischen Anlagestrategien für Stiftungen, bei denen sich in theoretischen Modellen CPPI-Strategien als optimal zur Absicherung von zukünftigen Zahlungsverpflichtungen erwiesen haben. Vgl. auch Schindler (2003), der erwähnt, dass die rechtlichen Vorgaben ein betont vorsichtiges Anlageverhalten induzieren können, da der Stiftungsvorstand für Vermögensverluste verantwortlich gemacht werden kann, nicht jedoch für entgangene Erträge. 62 Bawa (1978) und Fishburn (1977) haben gezeigt, dass ein höherer Wert von n einem höheren Grad an Risikoaversion entspricht. Außerdem gibt es eine direkte Beziehung zwischen den Downside-Risk- Maßen und den Entscheidungsregeln der stochastischen Dominanz. Bawa und Lindenberg (1977) sowie Harlow und Rao (1989) entwickeln eine alternative Portfoliotheorie zum Markowitz-Ansatz, 69 Für die Bewertung des Risikos der Anlagestrategien von Stiftungen werden alle drei Risikomaße verwendet. Dabei wird für den Zielwert der Wert 100 verwendet, der den Anfangswert des Stiftungsvermögens angibt. Nominale oder reale Ausprägungen des simulierten Vermögens unterhalb von 100 werden dann entsprechend als Risiko definiert. In den Ergebnistabellen der folgenden Abschnitte werden folgende Risikomaße verwendet: Risk1 = 0 (100)LPM Risk2 = 1(100)LPM Risk3 = 2 (100)LPM Für die Bewertung der risikoadjustierten Performance werden drei Kennzahlen genutzt, die auf Basis von Lower- und Upper-Partial-Moments berechnet werden. Upper-Partial-Moments sind das Gegenstück der LPM-Maße und werden für den Teil der Verteilung berechnet, der rechts vom Zielwert liegt. Damit bilden die UPM-Maße die Ertragschancen der Anlagestrategie ab. ( ) [( ) ], ( ) ( ) n n n z UPM z E r z r z r z dF r +? = ? ? = ?? Folgende Performancemaße werden in den Ergebnistabellen abgebildet: Perf1 = 1 1(100) / (100)UPM LPM Perf2 = 1 2(100) / (100)UPM LPM Perf3 = 2( 100) / (100)LPMµ ? Hinzu kommt die Sharpe Ratio als viertes Performancemaß Perf4 = ( ) /frµ ?? Performancemaß Nr. 1 wird auch als Universal Performance Measure bezeichnet. Im Zähler enthält es den Erwartungswert der Ertragschancen und im Nenner den Erwartungswert der Verluste, jeweils definiert als Abweichung nach oben beziehungsweise unten vom Zielwert 100. Eine ausführliche Beschreibung der Eigenschaften findet sich beispielsweise in Keating und Shadwick (2002). Das zweite Performancemaß unterscheidet sich vom ersten dadurch, dass als Risikomaß die Wurzel aus LPM2 verwendet wird. Damit werden Unterschreitungen des Zielwertes stärker gewichtet. Performancemaß Nr. 2 eignet sich daher für Investoren, die eine höhere Risikoaversion haben. Performancemaß Nr. 3 ist die Sortino-Ratio. Es enthält als Zähler den mittleren Ertrag (µ) des Portfolios abzüglich des Zielwertes z, der in unserem Fall gleich 100 ist. Durch diese andere Definition des Zählers unterscheidet es sich von Performancemaß Nr. 2. Während in Nr. 2 der Erwartungswert oberhalb des Zielbei der anstelle der Standardabweichung LPM-Maße zur Abbildung des Risikos verwendet werden. Damit verfügen die LPM-Maße über eine solide Fundierung in der Entscheidungstheorie unter Unsicherheit. 70 wertes verwendet wird, ist es bei Nr. 3 der Mittelwert abzüglich des Zielwertes. Kaplan und Knowles (2003) definieren die neue Klasse der Kappa-Performancemaße, für die die Sortino-Ratio ein Spezialfall darstellt. Zum Vergleich wird ebenfalls – als viertes Performancemaß – die Sharpe-Ratio verwendet, die in der Regel verzerrte Aussagen liefern dürfte, da die Verteilung der simulierten Vermögenswerte nur in Ausnahmefällen der Normalverteilung entspricht. 3.4.2 Reine Geldmarktanlage Als erste Anlagestrategie wird eine reine Geldmarktanlage betrachtet; die Ergebnisse der Strategie werden durch Carstensen (1996a, 2003) dargestellt. Die Resultate dienen auch als Benchmark für die anderen Anlagestrategien, bei denen risikoreichere Anlageobjekte (Anleihen, Aktien) eingesetzt werden. Die Stiftung legt zu Beginn des Jahres ihr gesamtes Vermögen zum dann geltenden 1-Jahreszins an. Nach Ablauf eines Jahres erhält die Stiftung die Zinsen ausgezahlt. Von diesen Zinserträgen wird ein Drittel ausgeschüttet und zwei Drittel in einer freien Rücklage thesauriert. Das nach der Ausschüttung vorhandene Vermögen wird wieder zum 1-Jahreszins angelegt. Tabelle 9 zeigt, dass die Strategie kein Risiko in Bezug auf den Nominalwert des Vermögens aufweist. Für eine Anlagedauer von einem Jahr ist diese Aussage selbstverständlich, da der 1-Jahreszins bei Anlage des Vermögens bekannt ist. Bei einer Anlagedauer von fünf Jahren besteht ein durchaus erhebliches Zins- änderungsrisiko (siehe Tabelle 7), der 1-Jahreszins weist für die vier Folgejahre eine beachtliche Schwankungsbreite auf. Da der nominale Zins nicht negativ werden kann und die Ausschüttungen immer relativ zu den laufenden Erträgen definiert sind, liegt das nominale Vermögen immer oberhalb des Anfangswertes von 100. Damit weisen die Downside-Risk-Maße alle ein Risiko von null aus und entsprechend sind die Performancemaße für das nominale Vermögen nicht berechenbar. Tabelle 9: Risiko und Performance einer reinen Geldmarktanlage, Anlagedauer 1 Jahr und 5 Jahre Risikokennzahlen Performancekennzahlen Risk1 Risk2 Risk3 Perf1 Perf2 Perf3 Perf4 Nominal: 1 Jahr 0 0 0 - - - - Real: 1 Jahr 0,861 1,301 1,637 0,065 0,052 -0,746 0,00 Nominal: 5 Jahre 0 0 0 - - - - Real: 5 Jahre 0,883 8,066 9,784 0,053 0,044 -0,780 0,00