56
Die Variation des Multiplikators m sowie der Obergrenze für die Aktienanlagen
(Parameter b) zeigt darüber hinaus, wie sensitiv die Ergebnisse der CPPI-
Strategie in Bezug auf die konkrete Umsetzung reagieren. Da die Differenz zwischen Vermögen und Floor zu Jahresbeginn aufgrund der gewählten Vorgehensweise mit ( /(1 ))t t tV r r+ relativ klein ist, werden in den Simulationsexperimenten teilweise auch sehr große Werte für den Multiplikator verwendet, um
einen größeren durchschnittlichen Investitionsgrad für die Aktienanlagen zu erzielen.52
Die im Rahmen der Simulationen untersuchten Strategien der Vermögensanlage von Stiftungen haben einen engen Bezug einerseits zu den
Anlagerichtlinien deutscher Stiftungen und andererseits werden, wie im Falle der
CPPI-Strategie, Verbindungen zu den Ergebnissen der theoretischen Literatur
hergestellt. Beide Absicherungsmethoden – der Einsatz von Put-Optionen sowie
die CPPI – sind insbesondere für Investoren mit relativ hoher Risikoaversion geeignet und könnten daher für deutsche Stiftungen ebenfalls sinnvolle Strategien
darstellen.
Bei der Bewertung der resultierenden Vermögensverteilungen aus den statischen und dynamischen Anlagemethoden werden Risiko- und Performancemaße
verwendet, die speziell das sogenannte Downside-Risiko abbilden (vgl. Abschnitt 3.4.1). Dadurch wird Risiko auf die für Stiftungen besonders wichtige
Weise als Unterschreitung des nominalen Anfangsvermögens gemessen. Der
Einfluss der Inflation auf die Bewertung der Anlagestrategien wird durch die
Analyse der realen Vermögensverteilungen und das Risiko der Unterschreitung
des realen Anfangsvermögens bewertet. Auf diese Weise werden sowohl die statischen als auch die dynamischen Anlagestrategien aus der Perspektive deutscher
Stiftungen untersucht und bewertet.
3.3.3 Das Simulationsmodell
Die empirischen Untersuchungen, die in den folgenden Abschnitten dargestellt
werden, beruhen zu einem großen Teil auf der Simulation der im vorangegangenen Abschnitt 3.3.2.2 beschriebenen Anlagestrategien. Basis der
stochastischen Simulationen ist ein ökonometrisches Modell, das die
stochastischen Eigenschaften der relevanten Kapitalmarktvariablen (Zinsen,
Aktienindizes, Inflation, Dividendenrenditen) adäquat abbildet. Mit diesem
Modell werden 10.000 zukünftige Entwicklungspfade der Zeitreihen durch Zufallsziehungen aus den Residuen des Modells ermittelt. Diese dienen dazu, die
verschiedenen statischen und dynamischen Anlagestrategien umzusetzen und die
entsprechenden Vermögensentwicklungen zu berechnen. Im Anschluss daran
52 Die in der Literatur verwendeten Werte für den Multiplikator liegen in der Regel zwischen 1 und 8
(vgl. z.B. Zimmerer, 2006), üblicherweise ist auch der Cushion C deutlich höher, so dass sich bei
Multiplikatorwerten deutlich unter 10 durchschnittliche Investitionsquoten im Aktienportfolio von
über 40% ergeben.
57
werden die aus den 10.000 Entwicklungspfaden resultierenden Vermögensverteilungen analysiert und aus Sicht der Stiftungen bewertet.
3.3.3.1 Eigenschaften der verwendeten Zeitreihen
Das ökonometrische Modell, das für die Simulationen verwendet wird, berücksichtigt die wichtigsten Zeitreihen, die für die Berechnung der Vermögensverteilungen und der Ausschüttungen von Stiftungen von Bedeutung sind. Mit Ausnahme von Immobilien werden alle relevanten Anlagearten modelliert. Dies sind
der Geldmarkt, der deutsche Anleihemarkt sowie die Aktienmärkte für deutsche
und weltweite Aktienanlagen. Bei diesen Anlagearten werden die Ausschüttungen (Dividenden, Zinszahlungen) getrennt von der Preisentwicklung
modelliert, damit die für Stiftungen wichtigen laufenden Erträge separat von der
Vermögensentwicklung erfasst werden können. Zur Bewertung der Put-Optionen
wird die Volatilität der Aktienindizes als Zeitreihe modelliert. Außerdem dient
ein Index der Konsumentenpreise für Deutschland dazu, die reale Entwicklung
der laufenden Erträge und des Vermögens zu berechnen. Tabelle 3 gibt einen
Überblick zu den verwendeten originären Zeitreihen, Tabelle 4 zeigt, welche
weiteren Zeitreihen aus den Ursprungszeitreihen berechnet und im Modell verwendet wurden.
Tabelle 3: Überblick zu den originären Zeitreihen
Bezeichnung Quelle Besonderheiten
Aktienindex
Deutschland
Morgan Stanley Capital International
(MSCI)
Preisindex und
Total Return Index
Aktienindex
Welt
Morgan Stanley Capital International
(MSCI)
Preisindex und
Total Return Index
Anleiheindex
Deutsche Anleihen
(bis 12/2000)
Anleihe- und Zinssegment der
Deutschen Finanzdatenbank, Lehrstuhl für Finanzierung, Prof. Dr. Bühler,
Universität Mannheim
Preisindex und Total Return Index, Deutschland,
alle Laufzeiten
Anleiheindex
Eurogebiet
(ab 01/1999)
iBoxx, Deutsche Börse Gruppe
Preisindex und Total Return Index, Staatsanleihen,
alle Laufzeiten
1-Jahreszins Deutsche Bundesbank Zins einer Nullkuponanleihe, berechnet nach
der Svensson-Methode
Konsumentenpreisindex Statistisches Bundesamt Saisonbereinigt,
Verknüpfung der Indizes
West-Deutschland und
Deutschland ab 01/1991
Anmerkungen: Alle Zeitreihen in €, verwendeter Zeitraum jeweils ab 01/1975, Monatsdaten.
Vor der Verknüpfung der Zeitreihen in einem ökonometrischen Modell wird
ermittelt, ob die einzelnen Zeitreihen als stationär oder nichtstationär anzusehen
sind. Zu diesem Zweck werden zwei Tests durchgeführt: der Augmented Dickey-
58
Fuller (ADF)-Test und der Philips-Perron-Test. Beide Tests haben die Nullhypothese „nichtstationär“.
Die Tests werden auf Basis von Quartalsdaten durchgeführt, da auch das ökonometrische Modell mit Quartalsdaten geschätzt werden soll.53 Die Variablen
werden alle in der logarithmierten Form log( )tX getestet, genauso wie sie auch
im Modell verwendet werden. Die Inflationsrate ist definiert als Differenz des
logarithmierten Konsumentenpreisindex zum Vorjahr: log( ) log( ).4CPI CPIt t? ?
Tabelle 4: Überblick zu den berechneten Zeitreihen
Bezeichnung Berechnung
Dividendenrendite
Deutschland
Ermittelt aus Total Return Index und Preisindex:
Veränderungsrate zum Vorjahr der Relation
(Total Return Index/Preisindex)
Dividendenrendite Welt Siehe oben
Anleiheindex
Staatsanleihen
Verknüpfung der Anleiheindizes für Deutschland und
Eurogebiet ab 01/1999
Anleiherendite Ermittelt aus Total Return Index und Preisindex
Anleihen: Veränderungsrate zum Vorjahr der Relation
(Total Return Index/Preisindex)
Volatilität Aktien
Deutschland
Gleitender 12-Monatsdurchschnitt der quadrierten
und mittelwertbereinigten log-Returns des Preisindexes,
siehe Hull (2005: 286 ff)
Volatilität Aktien Welt Siehe oben
Inflationsrate Veränderungsrate des logarithmierten Konsumentenpreisindexes
zum Vorjahr: log (Index[t])-log(Index[t-4])
Log-Returns der
Preisindizes
log (Index[t])-log (Index[t-1])
Anmerkungen: Alle Zeitreihen in €, verwendeter Zeitraum jeweils ab 01/1975, Monatsdaten.
Die Ergebnisse der beiden Testverfahren sind sehr ähnlich.54 Bei den Aktienindizes, den Dividendenrenditen und den Zinsen ergibt sich jeweils, dass die Niveauwerte nichtstationär und die ersten Differenzen stationär sind. Die Volatilitätszeitreihen der Aktienindizes sind erwartungsgemäß als Niveauwerte stationär.
Es gibt bezüglich des Anleiheindexes und der Inflationsrate kein klares Ergebnis: Der eine Test weist die Niveauwerte als stationär, der andere als nichtstationär aus. Da Kapitalmarktindizes sowie die Inflationsrate in der Literatur
üblicherweise als nichtstationär angesehen werden, kann bei der Modell-
53 Die Entscheidung, das Modell mit Quartalsdaten statt Monatsdaten zu schätzen, hat vor allem den
Grund, dass Quartalsdaten weniger volatil sind als Monatsdaten und eine bessere Identifizierung der
relevanten Lagstrukturen erlauben. Da die mit dem Modell durchgeführten Prognosen einen Out-of-
Sample-Bereich von einem Jahr bis fünf Jahren betreffen, könnten auch Jahresdaten verwendet werden, die eine noch geringere Volatilität aufweisen. Dann wären keine quartalsweisen Portfolioumschichtungen bei der CPPI-Strategie möglich gewesen.
54 Die Ergebnisse des Philips-Perron-Tests auf Nichtstationarität werden im Text nicht ausgewiesen und
sind auf Anfrage bei dem Autor M. Schröder, ZEW, erhältlich.
59
konstruktion versuchsweise angenommen werden, dass die Niveauwerte beider
Zeitreihen jeweils nichtstationär sind.
Tabelle 5: Ergebnisse des Augmented-Dickey-Fuller (ADF)-Tests
Variable Konstante
und Trend
Nur
Konstante
Ohne
deterministische
Terme
Ergebnis
Aktienindex
Deutschland
-2,843 (0) -1,682 (0) 1,695 (0) I(1)
Differenz -5,708 *** (4) -5,673*** (4) -5,305*** (4) I(0)
Aktienindex Welt -2,847 (0) -2,049 (2) 2,169 (2) I(1)
Differenz -9,190*** (1) -9,063*** (1) -8,559*** (1) I(0)
Dividendenrendite
Deutschland
-1,012 (6) -1,904 (6) 0,602 (6) I(1)
Differenz -5,002*** (5) -4,741*** (5) -4,685*** (5) I(0)
Dividendenrendite
Welt
-2,299 (7) -1,524 (7) 1,137 (5) I(1)
Differenz -4,734*** (4) -4,746*** (4) -4,607*** (4) I(0)
Volatilität Aktien
Deutschland
-3,382* (4) -2,882* (4) 0,055 (8) I(0)
Differenz -5,944*** (7) -5,956*** (7) -5,956*** (7) I(0)
Volatilität Aktien
Welt
-4,360*** (6) -4,318*** (6) 0,324 (8) I(0)
Differenz -5,988*** (7) -6,036*** (7) -6,019*** (7) I(0)
Anleiheindex -3,584** (3) -2,747* (3) 0,583 (1) I(0)
Differenz -9,454*** (0) -9,484*** (0) -9,491*** (0) I(0)
Anleiherendite -1,397 (17) 2,089 (24) 1,584 (17) I(1)
Differenz -3,926** (23) -2,615* (16) -2,126** (16) I(0)
1-Jahreszins -3,050 (3) -2,302 (3) -0,144 (4) I(1)
Differenz -4,884*** (3) -4,876*** (3) -4,913*** (3) I(0)
Inflationsrate -2,724 (12) -2,185 (12) -1,539 (12) I(1)
Differenz -4,086*** (11) -4,075*** (11) -4,048*** (11) I(0)
Anmerkungen: Zeitraum jeweils 1. Quartal 1975 bis 2. Quartal 2006; alle Variablen (Niveauwerte) logarithmiert, außer der Inflationsrate. Die erste Zeile gibt jeweils die Teststatistiken für
die Niveauwerte an, die Zeile darunter für die ersten Differenzen; Zahlen in ( ) geben die optimale Lag-Anzahl nach dem Akaike-Informationskriterium (AIC) an; signifikante Teststatistiken
haben folgende Irrtumswahrscheinlichkeiten: *** = 1%, ** = 5%, * = 10%; I(1) bedeutet nichtstationär, I(0) bedeutet stationär.
3.3.3.2 Beschreibung des ökonometrischen Simulationsmodells
Auf Basis der Ergebnisse des vorangegangenen Abschnitts wird ein so genanntes Vector-Error-Correction (VEC)-Modell geschätzt. Dieser Modellansatz
berücksichtigt sowohl die vorhandenen langfristigen Zusammenhänge (im Sinne
von Kointegration) als auch die kurzfristige Dynamik der Zeitreihen.
60
Das VEC-Modell hat die folgende allgemeine Struktur:55
1 1 1 1 1...t t k t k t tx x x x?? µ ?? ? ? + ??? = ? ? + + ? ? + + + (1)
In dieser Formel bezeichnet tx den Vektor der im Modell berücksichtigten sieben endogenen Zeitreihen. Dies sind der Anleihe-Preisindex, der Aktien-
Preisindex für Deutschland, die Dividendenrendite sowie die Volatilität deutscher Aktien, der Anleihekupon, der 1-Jahreszins und die Inflationsrate. Alle Variablen beziehen sich auf Deutschland bzw. im Falle des Anleiheindexes auch
teilweise auf das Eurogebiet.
Die Zeitreihen, die sich auf Aktien Welt beziehen – der Aktien-Preisindex, die
Dividendenrendite sowie die Volatilität – werden nicht in das VEC-Modell aufgenommen, da nicht zu erwarten ist, dass zwischen diesen Zeitreihen und den
sich auf Deutschland beziehenden Zeitreihen eine Kointegrationsbeziehung besteht. Dies wird auch durch Kointegrationstests, bei denen alle Variablen zusammen verwendet werden, bestätigt.
Mit Ausnahme der Inflationsrate werden alle Zeitreihen in der Form log( )tX
verwendet, die Inflationsrate ist die Differenz des logarithmierten Konsumentenpreisindexes zum Vorjahr.
In der obigen Formel (1) ist tx? der Vektor der ersten Differenzen der endogenen Zeitreihen. Die Matrizen ? enthalten die Parameter der kurzfristigen
Dynamik für die Lags 1 bis (k+1). Die Parameter der Langfristbeziehungen sind
in ?? ? enthalten, wobei Matrix ? ? die Koeffizienten der Kointegrationsgleichungen angibt und Matrix ? die Anpassungsgeschwindigkeit an die
jeweiligen Gleichgewichtsbeziehungen angibt.µ enthält gegebenenfalls die deterministischen Terme, also Konstante und linearen Trend.
Der Test auf Kointegration zwischen den sieben endogenen Variablen wird mit
dem Johansen-Test durchgeführt. Für die Durchführung des Tests ist es notwendig, zuvor die Anzahl der Lags k sowie die Art der deterministischen Terme
µ festzulegen. Als optimale Lag-Anzahl des Gesamtmodells ergibt sich nach dem
Akaike Informationskriterium ein Wert von 7 für die Niveauwerte. In Formel (1)
nimmt k somit den Wert 7 an.56 Für die deterministischen Terme erscheint auf
Grund der Eigenschaften der Zeitreihen angemessen zu sein sowohl in der Kurzfristbeziehung als auch in der Langfristbeziehung eine Konstante einzufügen. In
der Kurzfristbeziehung, also den Gleichungen für tx? , dient die Konstante dazu,
eine möglicherweise vorhandene Drift abzubilden. In der Langfristbeziehung,
also den Kointegrationsgleichungen 1tx?? ?? , bildet die Konstante einen Ausgleich für die unterschiedliche Skalierung der Zeitreihen. Die Ergebnisse der
55 Vgl. beispielsweise Juselius (2006).
56 Bei Verwendung des Schwarz-Informationskriteriums (SIC) ergibt sich eine optimale Lag-Anzahl
von 1 in den Niveauwerten. Das Modell in den ersten Differenzen weist dann entsprechend Formel
(1) keinen Lag auf ((-k+1) = 0), so dass auch keine Kurzfristdynamik im Modell abgebildet wird.
Daher wird dieses Modell auch nicht weiter verwendet.
61
Tests auf Basis der Trace- und der Maximalen Eigenwert-Teststatistiken sind in
Tabelle 6 wiedergegeben.
Tabelle 6: Ergebnisse der Kointegationsstests (Johansen-Modell)
Nullhypothese: Anzahl
Kointegrationsbeziehungen Trance- Teststatistik
P-Wert Max.
Eigenwert-
Teststatistik
P-Wert
Keine 178,76 0,00% 49,70 2,05%
Höchstens eins 129,05 0,00% 45,61 1,08%
Höchstens zwei 83,44 0,28% 36,57 2,32%
Höchstens drei 46,87 6,18% 23,66 14,71%
Höchstens vier 23,21 23,60% 14,46 32,86%
Anmerkungen: Zeitraum 1. Quartal 1975 bis 2. Quartal 2006; optimale Lag-Anzahl nach dem
Akaike-Informationskriterium (AIC) = 7 für die Niveauwerte; deterministische Terme: Konstante in der Kurzfrist- und in der Langfristbeziehung, kein deterministischer Trend. Die P-
Werte geben die (implizite) Irrtumswahrscheinlichkeit des Wertes der Teststatistik in Prozent
an.
Unter Verwendung der üblichen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% verwerfen
beide Teststatistiken die Nullhypothesen „Keine Kointegrationsbeziehung“,
„Höchstens eine Kointegrationsbeziehung“ sowie „Höchstens zwei Kointegrationsbeziehungen“. Somit zeigen die beiden Teststatistiken an, dass bei
dieser Irrtumswahrscheinlichkeit von drei Kointegrationsbeziehungen auszugehen ist.57
Die Tests zur Identifizierung der drei Kointegrationsbeziehungen im Rahmen
des Johansen-Modells ergeben folgendes Resultat, wobei alle Zeitreihen mit
Ausnahme der Inflationsrate in logarithmierter Form verwendet werden:58
Kointegrationsbeziehung 1
0.058* 0.10* 1.65* 4.62 0Anleiheindex AktienDE DivDE Inflation? ? + ? =
Kointegrationsbeziehung 2
0.69* 0.09* 2.96 0Inflation Anleiheindex Anleiherendite+ + ? =
Kointegrationsbeziehung 3
31.79* 1.48* 1.85* 1.50 0VolaDE Inflation Einjahreszins Anleiherendite+ ? + + =
Die grafische Darstellung (vgl. Abbildung 4) zeigt, dass alle drei Kointegrationsbeziehungen um die Nullachse schwanken und eine deutlich erkenn-
57 Auch bei Verwendung eines linearen Trends in der Langfristbeziehung bleibt dieses Resultat bestehen. Da die grafische Darstellung der drei Kointegrationsgleichungen kein Anzeichen einer
linearen Trendentwicklung erkennen lässt, wird auf die Aufnahme eines linearen Trends verzichtet.
58 Der Likelihood-Ratio-Test bezogen auf die in den Kointegrationsgleichungen enthaltenen Restriktionen weist einen P-Wert von 26,39% auf. Daher kann die Nullhypothese, dass das Modell mit Restriktionen den gleichen maximalen Likelihood-Wert wie das Modell ohne Restriktionen erreicht, nicht
verworfen werden. Die auferlegten Restriktionen und damit die drei Kointegrationsgleichungen können somit akzeptiert werden.
62
bare Tendenz aufweisen, bei Abweichungen relativ schnell wieder zur Nullachse
zurückzukehren.
Die erste Kointegrationsbeziehung stellt einen Gleichgewichtszusammenhang
her zwischen Anleiheindex und Aktienindex auf der einen Seite und Dividendenrendite und Inflation auf der anderen Seite. Nach einem Anstieg, beispielsweise
des Anleiheindexes oder der Inflation, könnte ein neues Gleichgewicht durch
einen Anstieg des Aktienindexes oder der Dividendenrendite wieder erreicht
werden.
Abbildung 4: Darstellung der drei Kointegrationsgrafen
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
80 85 90 95 00 05
KI1
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
80 85 90 95 00 05
KI2
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
80 85 90 95 00 05
KI3
Die zweite Kointegrationsbeziehung verweist auf eine Gleichgewichtsbeziehung zwischen Inflation, Anleiheindex und Anleiherendite. Wenn die
Inflationsrate ansteigt, führt zum Beispiel ein Rückgang des Anleiheindexes zu
einem neuen Gleichgewicht.
In der dritten Kointegrationsgleichung wird eine Gleichgewichtsrelation zwischen der Volatilität der Aktienkurse, der Inflationsrate sowie dem 1-Jahreszins
und der Anleiherendite aufgestellt. Da die Volatilität entsprechend Tabelle 5 stationär ist, müssen Inflationsrate, 1-Jahreszins und Anleiherendite ebenfalls eine
stationäre Beziehung bilden. Ein Anstieg der Inflationsrate kann durch einen An-
63
stieg des Einjahreszinses relativ zur Anleiherendite die Gleichung zu einem neuen Gleichgewicht führen.
Das gesamte Simulationsmodell besteht aus den drei Kointegrationsgleichungen sowie den Kurzfristgleichungen für die sieben endogenen Variablen
tx? . Diese Kurzfristbeziehungen werden für jede Gleichung einzeln erstellt,
wobei auf der rechten Seite der Gleichung alle endogenen Variablen mit
Lags (
t ix ?? ) vorkommen können. Außerdem werden in den Kurzfristgleichungen
die drei Kointegrationsbeziehungen berücksichtigt. Die Aufnahme der verzögerten endogenen Variablen sowie der Kointegrationsbeziehungen erfolgt in
den einzelnen Gleichungen so, dass das AIC minimiert wird. Im Folgenden
werden die sieben Gleichungen des Modells für
tx? im Überblick dargestellt:59
Anleiheindex:
1 1 11t tAnleiheindex a K? ?? = +
Anleiherendite:
4
2 2 2 11
2 1 2 1 1 2
t i t i ti
t t
Anleiherendite a b Anleiherendite c Anleiheindex
K K? ?
? ?
=
? ?
? = + ? + ?
+ +
?
1-Jahreszins:
3 31 1 3 11t t tEinjahreszins a b Einjahreszins K?? ?? = + ? +
Aktienindex Deutschland:
4tAktienDE a? =
Dividendenrendite Deutschland:
6
5 5 5 11t i t i ti
DivDE a b DivDE c AktienDE
? ?
=
? = + ? + ??
Inflationsrate:
5
6 6 6 11
6 1 6 1 3
t i t i ti
t t
Inflation a b Inflation c Anleiherendite
d Anleiheindex K?
? ?
=
? ?
? = + ? + ?
+ ? +
?
Volatilität Aktienindex Deutschland:
2
7 71t i t ii
VolaDE a b VolaDE
?
=
= +?
Hinzu kommen die drei Gleichungen für den Aktienindex Welt, die zusammen
mit den Gleichungen für Deutschland geschätzt werden:
Aktienindex Welt:
8tAktienWE a? =
Dividendenrendite Welt:
2
9 91t i t ii
DivWE a b DivWE
?
=
? = + ??
Volatilität Aktienindex Welt:
2
10 101t i t ii
VolaWE a b VolaWE
?
=
= +?
59 Alle Variablen sind in logarithmischen Differenzen verwendet, mit Ausnahme der Kointegrationsbeziehungen K1 bis K3 und der Volatilität. Zur Vereinfachung werden die Residuen der einzelnen
Gleichungen nicht angegeben. Die ausführlichen Schätzergebnisse sind auf Aufrage vom Autor erhältlich.
64
Die meisten Gleichungen haben eine sehr kleine Dimension. Besonders einfach
sind die Zusammenhänge für die Aktienindizes, die beide als Random Walk mit
Drift abgebildet werden. Die zwei Gleichungen für die Volatilität der Aktienindizes sowie die Dividendenrendite Welt sind reine autoregressive Prozesse, bei
denen die Variablen nur von der eigenen Dynamik beeinflusst werden.
In den Gleichungen für den Anleiheindex, die Anleiherendite, den 1-Jahreszins
sowie die Dividendenrendite Deutschland und die Inflationsrate sind auch Wechselbeziehungen zu anderen Variablen enthalten. Der Anleiheindex hat einen signifikanten Einfluss auf die Anleiherendite der nächsten Periode und beide zusammen prognostizieren die zukünftige Inflationsrate, da diese Variablen
Erwartungen über die Inflationsentwicklung enthalten. Ähnlich ist es in der Gleichung für die Dividendenrendite Deutschland, für die der verzögerte Aktienindex
Prognosekraft besitzt.
Darüber hinaus üben auch die Kointegrationsbeziehungen einen Einfluss auf
die zukünftigen Werte einiger Variablen aus. Jede der drei Kointegrationsbeziehungen – K1, K2 und K3 – ist in mindestens einer Kurzfristgleichung signifikant. K1 beeinflusst sowohl den Anleiheindex, die Anleiherendite als auch den
1-Jahreszins, während K2 nur auf die Anleiherendite und K3 nur auf die Inflationsrate einen Einfluss ausübt.
Alle aufgeführten zehn Gleichungen für die Kurzfristigbeziehungen sowie die
drei Kointegrationsbeziehungen werden zusammen mit der Methode der Seemingly Unrelated Regressions (SUR) geschätzt. Die Schätzung erfolgt unter Verwendung von Quartalsdaten für den Zeitraum 1. Quartal 1975 bis 2. Quartal
2006.
Mit diesem Modell werden Simulationen aller Variablen für einen Zeitraum
von 20 Quartalen in die Zukunft durchgeführt. Dabei wird ein sogenanntes
Bootstrap-Verfahren angewandt, das die Korrelationsstruktur zwischen den Zeitreihen unverändert lässt.
Konkret werden aus den Residuen der Schätzungen 10.000 Zufallsziehungen
(mit Zurücklegen) für den Zeitraum der nächsten 20 Quartale durchgeführt, wobei bei jeder Ziehung immer nur Residuenwerte des gleichen Zeitpunkts t einander zugeordnet werden. Das Ergebnis der Zufallsziehungen ergibt für jede Variable des Modells eine Zeitreihe für die Quartale 02/2006+1 bis 02/2006+20. Nun
werden mit den geschätzten Gleichungen des Modells Prognosen für die Periode
[02/2006+1 bis 02/2006+20] durchgeführt, wobei die per Zufall gezogenen Zeitreihen aus den Residuen zu den Prognosewerten addiert werden. Dieser Prozess
wird 10.000 Mal mit jeweils neuen Zufallsziehungen wiederholt. Auf diese Weise liegen für jedes Quartal der Prognoseperiode 10.000 Prognosewerte für jede
Variable des Modells vor, mit denen sich eine realistische Bewertung der Verteilung der Prognosewerte durchführen lässt.
65
Bevor in den Abschnitten 3.4 und 3.5.2.3 die aus diesen simulierten Zeitreihen
berechneten Portfolios analysiert und bewertet werden, soll in den Tabellen 7
und 8 zunächst ein Überblick über die Prognosen der Modellvariablen gegeben
werden.
Tabelle 7 zeigt die wichtigsten statistischen Kennzahlen für die Inflationsrate,
den 1-Jahreszins, die Anleiherendite sowie die Dividendenrenditen Deutschland
und Welt. Die simulierten zukünftigen Werte der Inflationsrate weisen eine leicht
steigende Veränderung für die nächsten fünf Jahre auf, die eine Rückbewegung
zum langfristigen Trend von 2,70% (1975–2006) darstellt. 1-Jahreszins und Anleiherendite sind in den letzten 30 Jahren deutlich gesunken. Dieser Trend setzt
sich in den Simulationen nicht fort, sondern es kommt zu einer leichten Steigerung über die nächsten fünf Jahre. Beide Zinsen befinden sich damit weiterhin
auf einem historisch sehr niedrigen Niveau. Die Dividendenrendite Deutschland
verharrt etwa auf dem heutigen Wert von 2,60%, während die Dividendenrendite
Welt den abwärts gerichteten Trend der letzten 20 Jahre wieder aufnimmt.
Tabelle 7: Simulierte Variablen: Inflation, Zinsen, Dividendenrenditen
Kennziffer Inflationsrate 1-Jahreszins
Anleiherendite
Dividendenrendite DE
Dividendenrendite
Welt
Wert
Q2 2006
0,020 0,034 0,041 0,026 0,021
Prognosehorizont 1 Jahr
Mittelwert 0,024 0,035 0,045 0,025 0,017
Median 0,024 0,033 0,045 0,024 0,017
Standardabw.
0,012 0,009 0,002 0,004 0,002
Maximum 0,080 0,091 0,052 0,059 0,029
Minimum -0,020 0,015 0,038 0,016 0,011
Prognosehorizont 5 Jahre
Mittelwert 0,032 0,038 0,047 0,025 0,016
Median 0,031 0,031 0,046 0,023 0,015
Standardabw,
0,025 0,025 0,009 0,009 0,006
Maximum 0,135 0,248 0,100 0,101 0,054
Minimum -0,056 0,003 0,021 0,008 0,005
Im historischen Vergleich verändern sich alle fünf Zeitreihen allerdings nur
unwesentlich über die nächsten 20 Quartale und bleiben in der Regel recht nahe
am letzten Wert der Schätzperiode („Wert Q2 2006“). Die Standardabweichung
und die Maxima und Minima zeigen, dass die Schwankungsbreite mit dem Prognosehorizont ganz erheblich zunimmt. Für die Inflationsrate ergeben sich in fünf
Jahren ein maximaler Wert von 13,50% und ein Minimum von -5,60%. Auch
beim 1-Jahreszins ist die Spannbreite von 24,80% (maximal) bis 0,30% (minimal) ganz beachtlich. Dies sind extreme Werte, die nur äußerst selten erreicht
werden. Unter der vereinfachenden Annahme einer Normalverteilung befinden
sich durchschnittlich 95% der Realisationen im Intervall
66
{ 1.96 ., 1.96 .}Mittelwert Standardabw Mittelwert Standardabw? + .60 Bei der Inflationsrate beispielsweise nimmt dieses Intervall für den Prognosehorizont fünf Jahre die Werte
{-1,675, 8,075%} an. Dies zeigt, dass der überwiegende Teil der prognostizierten
Werte in einem deutlich engeren Intervall liegen dürfte, als dies die Minimalund Maximalwerte angeben, die als „Ausreißer“ nach oben und unten anzusehen
sind.
Tabelle 8: Simulierte Variablen: Anleiheindex, Aktienindizes, Volatilitäten
Kennziffer Anleiheindex
Aktienindex
DE
Aktienindex
Welt
Volatilität
DE
Volatilität
Welt
Wert
Q2 2006
105,64 2444,57 2013,30 0,147 0,106
Prognosehorizont 1 Jahr
Mittelwert 106,45 2685,97 2193,78 0,173 0,145
Median 106,42 2698,26 2191,28 0,162 0,139
Standardabw.
4,30 583,69 399,04 0,070 0,046
Maximum 125,02 5162,74 3988,46 1,030 0,726
Minimum 90,11 818,50 893,49 0,031 0,039
Prognosehorizont 5 Jahre
Mittelwert 107,16 3.919,04 3.084,60 0,191 0,162
Median 106,91 3.537,10 2.888,85 0,176 0,155
Standardabw,
8,74 2.052,77 1.295,69 0,086 0,052
Maximum 147,16 20.372,28 11.086,99 0,954 0,654
Minimum 75,71 345,58 376,71 0,030 0,036
Anmerkungen zu den Tabellen 7 und 8: „Wert Q2 2006“ gibt den letzten Wert der Zeitreihen im
Schätzzeitraum an; die statistischen Kennziffern beruhen auf 10.000 Bootstrap-Simulationen für
die nächsten vier Quartale („Prognosehorizont 1 Jahr“) und die nächsten 20 Quartale („Prognosehorizont 5 Jahre“).
Beim Zinsvergleich fällt auf, dass die Schwankungsbreite des 1-Jahreszinses
wesentlich größer ist als bei der Anleiherendite. Auch die beiden Dividendenrenditen, insbesondere für weltweite Aktienanlagen, weisen eher eine gemäßigte
Spannbreite der Prognosewerte auf. Dies zeigt, dass die laufenden Einnahmen
aus Anleihen und Aktienanlagen sich weniger stark von ihrem jeweiligen Mittelwert entfernen als der 1-Jahreszins, der bei den Simulationen als risikoloser
Zins fungiert. Wie Tabelle 8 zeigt, trifft diese Aussage nicht auf die Kursver-
änderungen von Anleihen und Aktien zu, deren Schwankungsbreite ausgesprochen groß ist.
Der Anleiheindex verändert sich im Mittel nur unwesentlich von dem letzten
Wert der Schätzperiode, dagegen nimmt die Standardabweichung mit dem Prognosehorizont deutlich zu. Bei Annahme einer näherungsweise gültigen Normalverteilung befinden sich etwa 95% der 5-Jahres-Prognosewerte im Intervall
60 Diese näherungsweise Berechnung ist hier nur für die Inflationsrate anwendbar, da deren Verteilung
ungefähr der Normalverteilung entspricht. Bei den anderen Variablen liegt dagegen näherungsweise
eine Log-Normalverteilung vor, so dass die Berechnung auf die logarithmierten Zeitreihen angewandt
werden muss.
67
{89,7; 124,2}, so dass ein Anleiheinvestor über diesen Anlagehorizont auch mit
beträchtlichen positiven und negativen Wertänderungen rechnen muss.
Noch wesentlich ausgeprägter sind diese Wertänderungen bei einer Aktienanlage. Der Mittelwert wird durch die positive Drift der Aktienindizes bestimmt
und steigt im Falle deutscher Aktien durchschnittlich um 9,90% pro Jahr an, bei
einer weltweiten Aktienanlage beträgt dieser Anstieg 8,90% pro Jahr. Die
Standardabweichungen sind schon für eine 1-Jahresanlage mit 583,70 (Deutschland) und 399,00 (Welt) ganz beträchtlich und steigen bei fünf Jahren Anlagehorizont auf 2.052,8 beziehungsweise 1.295,7 an. Der Aktienindex Welt weist
sowohl eine geringere Wachstumsrate als auch eine niedrigere Schwankungsbreite auf. Die Relation von Wachstumsrate zu Standardabweichung ist für den
Welt-Aktienindex höher als für deutsche Aktien.
Dies zeigt sich auch an den Volatilitätszeitreihen, die aus gleitenden 12-
Monatswerten berechnet sind. Für beide Zeitreihen wird eine Zunahme über den
Prognosezeitraum vorhergesagt, die eine Annäherung an den jeweils deutlich
höher liegenden historischen Durchschnitt bewirkt. Die Volatilität des Aktienindex Deutschland ist wesentlich höher als die des Weltindex. Auch die Schwankungsbreite im Prognosezeitraum ist für die deutsche Volatilität erheblich größer.
Da beide Zeitreihen für die Bewertung von Put-Optionen verwendet werden, sind
die Put-Optionen auf deutsche Aktien unter sonst gleichen Bedingungen teuerer
als die für Aktien Welt.
3.4 Ergebnisse der Simulationen für die Anlagestrategien
3.4.1 Methoden der Performancemessung
Das in Abschnitt 3.3.3 dargestellte Modell wird für die Simulation von Anlagestrategien deutscher Stiftungen verwendet. Dazu werden – wie zuvor beschrieben
– für alle Variablen des Modells 10.000 simulierte Zeitreihen für den zukünftigen
Zeitraum von 1 bis 20 Quartalen erzeugt. Die prognostizierten Variablen – Zinsen, Dividendenrenditen, Anleiheindex, Aktienindizes und Volatilitäten – werden
dazu verwendet, verschiedene Anlagestrategien zu simulieren. Für jedes dieser
Portfolios liegen dann ebenfalls 10.000 Zeitreihen für die Periode von t + 1 bis
t + 20 Quartalen vor, auf deren Basis eine umfassende Analyse und Bewertung
der Strategien vorgenommen wird. Diese Portfoliobewertung erfolgt mithilfe von
bestimmten statistischen Kennzahlen, die speziell auf die Situation deutscher
Stiftungen angepasst werden.
Das klassische Performancemaß, das sich aus dem Capital Asset Pricing Model
(CAPM) ergibt, ist die Sharpe-Ratio. Es ist folgendermaßen definiert: ( )fSR rµ ?= ? ,
wobei µ der mittlere Ertrag des Portfolios ist, fr bezeichnet den risikolosen Zins
und ? ist die Standardabweichung, die das Risiko des Portfolios abbildet. Die
Sharpe-Ratio bemisst den Ertrag des Portfolios als Differenz zum risikolosen
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References
Zusammenfassung
In den letzten Jahren ist der Markt für nachhaltige Kapitalanlagen auch in Europa signifikant gewachsen. Besonders für Stiftungen können Kapitalanlagen, die nach ethischen, sozialen und ökologischen Kriterien ausgewählt werden interessant sein, weil dadurch der Stiftungszweck auch im Rahmen der Vermögensanlage berücksichtigt werden kann. Im April 2008 wurde zur Analyse dieses Themas eine Konferenz unter dem Titel „Nachhaltige Kapitalanlagen für Stiftungen: Aktuelle Entwicklungen“ in Osnabrück bei der Deutschen Bundesstiftung Umwelt (DBU) durchgeführt. Ziel der Konferenz war es, einen umfassenden Überblick über die aktuellen Entwicklungen auf dem Markt für nachhaltige Kapitalanlagen zu geben und eine Bewertung, speziell aus der Perspektive von Stiftungen, durchzuführen.
Der vorliegende Konferenzband enthält als zentrales Kapitel die Studie „Nachhaltige Vermögensanlagen für Stiftungen“, die das ZEW zusammen mit der Universität Stuttgart durchgeführt hat. Die weiteren Beiträge befassen sich unter anderem mit dem noch relativ jungen Markt der Microfinance-Anlageprodukte, die als Teilgebiet der nachhaltigen Kapitalanlagen in Zukunft für Stiftungen eine ansteigende Bedeutung erlangen könnten.