56 Die Variation des Multiplikators m sowie der Obergrenze für die Aktienanlagen (Parameter b) zeigt darüber hinaus, wie sensitiv die Ergebnisse der CPPI- Strategie in Bezug auf die konkrete Umsetzung reagieren. Da die Differenz zwischen Vermögen und Floor zu Jahresbeginn aufgrund der gewählten Vorgehensweise mit ( /(1 ))t t tV r r+ relativ klein ist, werden in den Simulationsexperimenten teilweise auch sehr große Werte für den Multiplikator verwendet, um einen größeren durchschnittlichen Investitionsgrad für die Aktienanlagen zu erzielen.52 Die im Rahmen der Simulationen untersuchten Strategien der Vermögensanlage von Stiftungen haben einen engen Bezug einerseits zu den Anlagerichtlinien deutscher Stiftungen und andererseits werden, wie im Falle der CPPI-Strategie, Verbindungen zu den Ergebnissen der theoretischen Literatur hergestellt. Beide Absicherungsmethoden – der Einsatz von Put-Optionen sowie die CPPI – sind insbesondere für Investoren mit relativ hoher Risikoaversion geeignet und könnten daher für deutsche Stiftungen ebenfalls sinnvolle Strategien darstellen. Bei der Bewertung der resultierenden Vermögensverteilungen aus den statischen und dynamischen Anlagemethoden werden Risiko- und Performancemaße verwendet, die speziell das sogenannte Downside-Risiko abbilden (vgl. Abschnitt 3.4.1). Dadurch wird Risiko auf die für Stiftungen besonders wichtige Weise als Unterschreitung des nominalen Anfangsvermögens gemessen. Der Einfluss der Inflation auf die Bewertung der Anlagestrategien wird durch die Analyse der realen Vermögensverteilungen und das Risiko der Unterschreitung des realen Anfangsvermögens bewertet. Auf diese Weise werden sowohl die statischen als auch die dynamischen Anlagestrategien aus der Perspektive deutscher Stiftungen untersucht und bewertet. 3.3.3 Das Simulationsmodell Die empirischen Untersuchungen, die in den folgenden Abschnitten dargestellt werden, beruhen zu einem großen Teil auf der Simulation der im vorangegangenen Abschnitt 3.3.2.2 beschriebenen Anlagestrategien. Basis der stochastischen Simulationen ist ein ökonometrisches Modell, das die stochastischen Eigenschaften der relevanten Kapitalmarktvariablen (Zinsen, Aktienindizes, Inflation, Dividendenrenditen) adäquat abbildet. Mit diesem Modell werden 10.000 zukünftige Entwicklungspfade der Zeitreihen durch Zufallsziehungen aus den Residuen des Modells ermittelt. Diese dienen dazu, die verschiedenen statischen und dynamischen Anlagestrategien umzusetzen und die entsprechenden Vermögensentwicklungen zu berechnen. Im Anschluss daran 52 Die in der Literatur verwendeten Werte für den Multiplikator liegen in der Regel zwischen 1 und 8 (vgl. z.B. Zimmerer, 2006), üblicherweise ist auch der Cushion C deutlich höher, so dass sich bei Multiplikatorwerten deutlich unter 10 durchschnittliche Investitionsquoten im Aktienportfolio von über 40% ergeben. 57 werden die aus den 10.000 Entwicklungspfaden resultierenden Vermögensverteilungen analysiert und aus Sicht der Stiftungen bewertet. 3.3.3.1 Eigenschaften der verwendeten Zeitreihen Das ökonometrische Modell, das für die Simulationen verwendet wird, berücksichtigt die wichtigsten Zeitreihen, die für die Berechnung der Vermögensverteilungen und der Ausschüttungen von Stiftungen von Bedeutung sind. Mit Ausnahme von Immobilien werden alle relevanten Anlagearten modelliert. Dies sind der Geldmarkt, der deutsche Anleihemarkt sowie die Aktienmärkte für deutsche und weltweite Aktienanlagen. Bei diesen Anlagearten werden die Ausschüttungen (Dividenden, Zinszahlungen) getrennt von der Preisentwicklung modelliert, damit die für Stiftungen wichtigen laufenden Erträge separat von der Vermögensentwicklung erfasst werden können. Zur Bewertung der Put-Optionen wird die Volatilität der Aktienindizes als Zeitreihe modelliert. Außerdem dient ein Index der Konsumentenpreise für Deutschland dazu, die reale Entwicklung der laufenden Erträge und des Vermögens zu berechnen. Tabelle 3 gibt einen Überblick zu den verwendeten originären Zeitreihen, Tabelle 4 zeigt, welche weiteren Zeitreihen aus den Ursprungszeitreihen berechnet und im Modell verwendet wurden. Tabelle 3: Überblick zu den originären Zeitreihen Bezeichnung Quelle Besonderheiten Aktienindex Deutschland Morgan Stanley Capital International (MSCI) Preisindex und Total Return Index Aktienindex Welt Morgan Stanley Capital International (MSCI) Preisindex und Total Return Index Anleiheindex Deutsche Anleihen (bis 12/2000) Anleihe- und Zinssegment der Deutschen Finanzdatenbank, Lehrstuhl für Finanzierung, Prof. Dr. Bühler, Universität Mannheim Preisindex und Total Return Index, Deutschland, alle Laufzeiten Anleiheindex Eurogebiet (ab 01/1999) iBoxx, Deutsche Börse Gruppe Preisindex und Total Return Index, Staatsanleihen, alle Laufzeiten 1-Jahreszins Deutsche Bundesbank Zins einer Nullkuponanleihe, berechnet nach der Svensson-Methode Konsumentenpreisindex Statistisches Bundesamt Saisonbereinigt, Verknüpfung der Indizes West-Deutschland und Deutschland ab 01/1991 Anmerkungen: Alle Zeitreihen in €, verwendeter Zeitraum jeweils ab 01/1975, Monatsdaten. Vor der Verknüpfung der Zeitreihen in einem ökonometrischen Modell wird ermittelt, ob die einzelnen Zeitreihen als stationär oder nichtstationär anzusehen sind. Zu diesem Zweck werden zwei Tests durchgeführt: der Augmented Dickey- 58 Fuller (ADF)-Test und der Philips-Perron-Test. Beide Tests haben die Nullhypothese „nichtstationär“. Die Tests werden auf Basis von Quartalsdaten durchgeführt, da auch das ökonometrische Modell mit Quartalsdaten geschätzt werden soll.53 Die Variablen werden alle in der logarithmierten Form log( )tX getestet, genauso wie sie auch im Modell verwendet werden. Die Inflationsrate ist definiert als Differenz des logarithmierten Konsumentenpreisindex zum Vorjahr: log( ) log( ).4CPI CPIt t? ? Tabelle 4: Überblick zu den berechneten Zeitreihen Bezeichnung Berechnung Dividendenrendite Deutschland Ermittelt aus Total Return Index und Preisindex: Veränderungsrate zum Vorjahr der Relation (Total Return Index/Preisindex) Dividendenrendite Welt Siehe oben Anleiheindex Staatsanleihen Verknüpfung der Anleiheindizes für Deutschland und Eurogebiet ab 01/1999 Anleiherendite Ermittelt aus Total Return Index und Preisindex Anleihen: Veränderungsrate zum Vorjahr der Relation (Total Return Index/Preisindex) Volatilität Aktien Deutschland Gleitender 12-Monatsdurchschnitt der quadrierten und mittelwertbereinigten log-Returns des Preisindexes, siehe Hull (2005: 286 ff) Volatilität Aktien Welt Siehe oben Inflationsrate Veränderungsrate des logarithmierten Konsumentenpreisindexes zum Vorjahr: log (Index[t])-log(Index[t-4]) Log-Returns der Preisindizes log (Index[t])-log (Index[t-1]) Anmerkungen: Alle Zeitreihen in €, verwendeter Zeitraum jeweils ab 01/1975, Monatsdaten. Die Ergebnisse der beiden Testverfahren sind sehr ähnlich.54 Bei den Aktienindizes, den Dividendenrenditen und den Zinsen ergibt sich jeweils, dass die Niveauwerte nichtstationär und die ersten Differenzen stationär sind. Die Volatilitätszeitreihen der Aktienindizes sind erwartungsgemäß als Niveauwerte stationär. Es gibt bezüglich des Anleiheindexes und der Inflationsrate kein klares Ergebnis: Der eine Test weist die Niveauwerte als stationär, der andere als nichtstationär aus. Da Kapitalmarktindizes sowie die Inflationsrate in der Literatur üblicherweise als nichtstationär angesehen werden, kann bei der Modell- 53 Die Entscheidung, das Modell mit Quartalsdaten statt Monatsdaten zu schätzen, hat vor allem den Grund, dass Quartalsdaten weniger volatil sind als Monatsdaten und eine bessere Identifizierung der relevanten Lagstrukturen erlauben. Da die mit dem Modell durchgeführten Prognosen einen Out-of- Sample-Bereich von einem Jahr bis fünf Jahren betreffen, könnten auch Jahresdaten verwendet werden, die eine noch geringere Volatilität aufweisen. Dann wären keine quartalsweisen Portfolioumschichtungen bei der CPPI-Strategie möglich gewesen. 54 Die Ergebnisse des Philips-Perron-Tests auf Nichtstationarität werden im Text nicht ausgewiesen und sind auf Anfrage bei dem Autor M. Schröder, ZEW, erhältlich. 59 konstruktion versuchsweise angenommen werden, dass die Niveauwerte beider Zeitreihen jeweils nichtstationär sind. Tabelle 5: Ergebnisse des Augmented-Dickey-Fuller (ADF)-Tests Variable Konstante und Trend Nur Konstante Ohne deterministische Terme Ergebnis Aktienindex Deutschland -2,843 (0) -1,682 (0) 1,695 (0) I(1) Differenz -5,708 *** (4) -5,673*** (4) -5,305*** (4) I(0) Aktienindex Welt -2,847 (0) -2,049 (2) 2,169 (2) I(1) Differenz -9,190*** (1) -9,063*** (1) -8,559*** (1) I(0) Dividendenrendite Deutschland -1,012 (6) -1,904 (6) 0,602 (6) I(1) Differenz -5,002*** (5) -4,741*** (5) -4,685*** (5) I(0) Dividendenrendite Welt -2,299 (7) -1,524 (7) 1,137 (5) I(1) Differenz -4,734*** (4) -4,746*** (4) -4,607*** (4) I(0) Volatilität Aktien Deutschland -3,382* (4) -2,882* (4) 0,055 (8) I(0) Differenz -5,944*** (7) -5,956*** (7) -5,956*** (7) I(0) Volatilität Aktien Welt -4,360*** (6) -4,318*** (6) 0,324 (8) I(0) Differenz -5,988*** (7) -6,036*** (7) -6,019*** (7) I(0) Anleiheindex -3,584** (3) -2,747* (3) 0,583 (1) I(0) Differenz -9,454*** (0) -9,484*** (0) -9,491*** (0) I(0) Anleiherendite -1,397 (17) 2,089 (24) 1,584 (17) I(1) Differenz -3,926** (23) -2,615* (16) -2,126** (16) I(0) 1-Jahreszins -3,050 (3) -2,302 (3) -0,144 (4) I(1) Differenz -4,884*** (3) -4,876*** (3) -4,913*** (3) I(0) Inflationsrate -2,724 (12) -2,185 (12) -1,539 (12) I(1) Differenz -4,086*** (11) -4,075*** (11) -4,048*** (11) I(0) Anmerkungen: Zeitraum jeweils 1. Quartal 1975 bis 2. Quartal 2006; alle Variablen (Niveauwerte) logarithmiert, außer der Inflationsrate. Die erste Zeile gibt jeweils die Teststatistiken für die Niveauwerte an, die Zeile darunter für die ersten Differenzen; Zahlen in ( ) geben die optimale Lag-Anzahl nach dem Akaike-Informationskriterium (AIC) an; signifikante Teststatistiken haben folgende Irrtumswahrscheinlichkeiten: *** = 1%, ** = 5%, * = 10%; I(1) bedeutet nichtstationär, I(0) bedeutet stationär. 3.3.3.2 Beschreibung des ökonometrischen Simulationsmodells Auf Basis der Ergebnisse des vorangegangenen Abschnitts wird ein so genanntes Vector-Error-Correction (VEC)-Modell geschätzt. Dieser Modellansatz berücksichtigt sowohl die vorhandenen langfristigen Zusammenhänge (im Sinne von Kointegration) als auch die kurzfristige Dynamik der Zeitreihen. 60 Das VEC-Modell hat die folgende allgemeine Struktur:55 1 1 1 1 1...t t k t k t tx x x x?? µ ?? ? ? + ??? = ? ? + + ? ? + + + (1) In dieser Formel bezeichnet tx den Vektor der im Modell berücksichtigten sieben endogenen Zeitreihen. Dies sind der Anleihe-Preisindex, der Aktien- Preisindex für Deutschland, die Dividendenrendite sowie die Volatilität deutscher Aktien, der Anleihekupon, der 1-Jahreszins und die Inflationsrate. Alle Variablen beziehen sich auf Deutschland bzw. im Falle des Anleiheindexes auch teilweise auf das Eurogebiet. Die Zeitreihen, die sich auf Aktien Welt beziehen – der Aktien-Preisindex, die Dividendenrendite sowie die Volatilität – werden nicht in das VEC-Modell aufgenommen, da nicht zu erwarten ist, dass zwischen diesen Zeitreihen und den sich auf Deutschland beziehenden Zeitreihen eine Kointegrationsbeziehung besteht. Dies wird auch durch Kointegrationstests, bei denen alle Variablen zusammen verwendet werden, bestätigt. Mit Ausnahme der Inflationsrate werden alle Zeitreihen in der Form log( )tX verwendet, die Inflationsrate ist die Differenz des logarithmierten Konsumentenpreisindexes zum Vorjahr. In der obigen Formel (1) ist tx? der Vektor der ersten Differenzen der endogenen Zeitreihen. Die Matrizen ? enthalten die Parameter der kurzfristigen Dynamik für die Lags 1 bis (k+1). Die Parameter der Langfristbeziehungen sind in ?? ? enthalten, wobei Matrix ? ? die Koeffizienten der Kointegrationsgleichungen angibt und Matrix ? die Anpassungsgeschwindigkeit an die jeweiligen Gleichgewichtsbeziehungen angibt.µ enthält gegebenenfalls die deterministischen Terme, also Konstante und linearen Trend. Der Test auf Kointegration zwischen den sieben endogenen Variablen wird mit dem Johansen-Test durchgeführt. Für die Durchführung des Tests ist es notwendig, zuvor die Anzahl der Lags k sowie die Art der deterministischen Terme µ festzulegen. Als optimale Lag-Anzahl des Gesamtmodells ergibt sich nach dem Akaike Informationskriterium ein Wert von 7 für die Niveauwerte. In Formel (1) nimmt k somit den Wert 7 an.56 Für die deterministischen Terme erscheint auf Grund der Eigenschaften der Zeitreihen angemessen zu sein sowohl in der Kurzfristbeziehung als auch in der Langfristbeziehung eine Konstante einzufügen. In der Kurzfristbeziehung, also den Gleichungen für tx? , dient die Konstante dazu, eine möglicherweise vorhandene Drift abzubilden. In der Langfristbeziehung, also den Kointegrationsgleichungen 1tx?? ?? , bildet die Konstante einen Ausgleich für die unterschiedliche Skalierung der Zeitreihen. Die Ergebnisse der 55 Vgl. beispielsweise Juselius (2006). 56 Bei Verwendung des Schwarz-Informationskriteriums (SIC) ergibt sich eine optimale Lag-Anzahl von 1 in den Niveauwerten. Das Modell in den ersten Differenzen weist dann entsprechend Formel (1) keinen Lag auf ((-k+1) = 0), so dass auch keine Kurzfristdynamik im Modell abgebildet wird. Daher wird dieses Modell auch nicht weiter verwendet. 61 Tests auf Basis der Trace- und der Maximalen Eigenwert-Teststatistiken sind in Tabelle 6 wiedergegeben. Tabelle 6: Ergebnisse der Kointegationsstests (Johansen-Modell) Nullhypothese: Anzahl Kointegrationsbeziehungen Trance- Teststatistik P-Wert Max. Eigenwert- Teststatistik P-Wert Keine 178,76 0,00% 49,70 2,05% Höchstens eins 129,05 0,00% 45,61 1,08% Höchstens zwei 83,44 0,28% 36,57 2,32% Höchstens drei 46,87 6,18% 23,66 14,71% Höchstens vier 23,21 23,60% 14,46 32,86% Anmerkungen: Zeitraum 1. Quartal 1975 bis 2. Quartal 2006; optimale Lag-Anzahl nach dem Akaike-Informationskriterium (AIC) = 7 für die Niveauwerte; deterministische Terme: Konstante in der Kurzfrist- und in der Langfristbeziehung, kein deterministischer Trend. Die P- Werte geben die (implizite) Irrtumswahrscheinlichkeit des Wertes der Teststatistik in Prozent an. Unter Verwendung der üblichen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% verwerfen beide Teststatistiken die Nullhypothesen „Keine Kointegrationsbeziehung“, „Höchstens eine Kointegrationsbeziehung“ sowie „Höchstens zwei Kointegrationsbeziehungen“. Somit zeigen die beiden Teststatistiken an, dass bei dieser Irrtumswahrscheinlichkeit von drei Kointegrationsbeziehungen auszugehen ist.57 Die Tests zur Identifizierung der drei Kointegrationsbeziehungen im Rahmen des Johansen-Modells ergeben folgendes Resultat, wobei alle Zeitreihen mit Ausnahme der Inflationsrate in logarithmierter Form verwendet werden:58 Kointegrationsbeziehung 1 0.058* 0.10* 1.65* 4.62 0Anleiheindex AktienDE DivDE Inflation? ? + ? = Kointegrationsbeziehung 2 0.69* 0.09* 2.96 0Inflation Anleiheindex Anleiherendite+ + ? = Kointegrationsbeziehung 3 31.79* 1.48* 1.85* 1.50 0VolaDE Inflation Einjahreszins Anleiherendite+ ? + + = Die grafische Darstellung (vgl. Abbildung 4) zeigt, dass alle drei Kointegrationsbeziehungen um die Nullachse schwanken und eine deutlich erkenn- 57 Auch bei Verwendung eines linearen Trends in der Langfristbeziehung bleibt dieses Resultat bestehen. Da die grafische Darstellung der drei Kointegrationsgleichungen kein Anzeichen einer linearen Trendentwicklung erkennen lässt, wird auf die Aufnahme eines linearen Trends verzichtet. 58 Der Likelihood-Ratio-Test bezogen auf die in den Kointegrationsgleichungen enthaltenen Restriktionen weist einen P-Wert von 26,39% auf. Daher kann die Nullhypothese, dass das Modell mit Restriktionen den gleichen maximalen Likelihood-Wert wie das Modell ohne Restriktionen erreicht, nicht verworfen werden. Die auferlegten Restriktionen und damit die drei Kointegrationsgleichungen können somit akzeptiert werden. 62 bare Tendenz aufweisen, bei Abweichungen relativ schnell wieder zur Nullachse zurückzukehren. Die erste Kointegrationsbeziehung stellt einen Gleichgewichtszusammenhang her zwischen Anleiheindex und Aktienindex auf der einen Seite und Dividendenrendite und Inflation auf der anderen Seite. Nach einem Anstieg, beispielsweise des Anleiheindexes oder der Inflation, könnte ein neues Gleichgewicht durch einen Anstieg des Aktienindexes oder der Dividendenrendite wieder erreicht werden. Abbildung 4: Darstellung der drei Kointegrationsgrafen -.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 80 85 90 95 00 05 KI1 -.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 80 85 90 95 00 05 KI2 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 80 85 90 95 00 05 KI3 Die zweite Kointegrationsbeziehung verweist auf eine Gleichgewichtsbeziehung zwischen Inflation, Anleiheindex und Anleiherendite. Wenn die Inflationsrate ansteigt, führt zum Beispiel ein Rückgang des Anleiheindexes zu einem neuen Gleichgewicht. In der dritten Kointegrationsgleichung wird eine Gleichgewichtsrelation zwischen der Volatilität der Aktienkurse, der Inflationsrate sowie dem 1-Jahreszins und der Anleiherendite aufgestellt. Da die Volatilität entsprechend Tabelle 5 stationär ist, müssen Inflationsrate, 1-Jahreszins und Anleiherendite ebenfalls eine stationäre Beziehung bilden. Ein Anstieg der Inflationsrate kann durch einen An- 63 stieg des Einjahreszinses relativ zur Anleiherendite die Gleichung zu einem neuen Gleichgewicht führen. Das gesamte Simulationsmodell besteht aus den drei Kointegrationsgleichungen sowie den Kurzfristgleichungen für die sieben endogenen Variablen tx? . Diese Kurzfristbeziehungen werden für jede Gleichung einzeln erstellt, wobei auf der rechten Seite der Gleichung alle endogenen Variablen mit Lags ( t ix ?? ) vorkommen können. Außerdem werden in den Kurzfristgleichungen die drei Kointegrationsbeziehungen berücksichtigt. Die Aufnahme der verzögerten endogenen Variablen sowie der Kointegrationsbeziehungen erfolgt in den einzelnen Gleichungen so, dass das AIC minimiert wird. Im Folgenden werden die sieben Gleichungen des Modells für tx? im Überblick dargestellt:59 Anleiheindex: 1 1 11t tAnleiheindex a K? ?? = + Anleiherendite: 4 2 2 2 11 2 1 2 1 1 2 t i t i ti t t Anleiherendite a b Anleiherendite c Anleiheindex K K? ? ? ? = ? ? ? = + ? + ? + + ? 1-Jahreszins: 3 31 1 3 11t t tEinjahreszins a b Einjahreszins K?? ?? = + ? + Aktienindex Deutschland: 4tAktienDE a? = Dividendenrendite Deutschland: 6 5 5 5 11t i t i ti DivDE a b DivDE c AktienDE ? ? = ? = + ? + ?? Inflationsrate: 5 6 6 6 11 6 1 6 1 3 t i t i ti t t Inflation a b Inflation c Anleiherendite d Anleiheindex K? ? ? = ? ? ? = + ? + ? + ? + ? Volatilität Aktienindex Deutschland: 2 7 71t i t ii VolaDE a b VolaDE ? = = +? Hinzu kommen die drei Gleichungen für den Aktienindex Welt, die zusammen mit den Gleichungen für Deutschland geschätzt werden: Aktienindex Welt: 8tAktienWE a? = Dividendenrendite Welt: 2 9 91t i t ii DivWE a b DivWE ? = ? = + ?? Volatilität Aktienindex Welt: 2 10 101t i t ii VolaWE a b VolaWE ? = = +? 59 Alle Variablen sind in logarithmischen Differenzen verwendet, mit Ausnahme der Kointegrationsbeziehungen K1 bis K3 und der Volatilität. Zur Vereinfachung werden die Residuen der einzelnen Gleichungen nicht angegeben. Die ausführlichen Schätzergebnisse sind auf Aufrage vom Autor erhältlich. 64 Die meisten Gleichungen haben eine sehr kleine Dimension. Besonders einfach sind die Zusammenhänge für die Aktienindizes, die beide als Random Walk mit Drift abgebildet werden. Die zwei Gleichungen für die Volatilität der Aktienindizes sowie die Dividendenrendite Welt sind reine autoregressive Prozesse, bei denen die Variablen nur von der eigenen Dynamik beeinflusst werden. In den Gleichungen für den Anleiheindex, die Anleiherendite, den 1-Jahreszins sowie die Dividendenrendite Deutschland und die Inflationsrate sind auch Wechselbeziehungen zu anderen Variablen enthalten. Der Anleiheindex hat einen signifikanten Einfluss auf die Anleiherendite der nächsten Periode und beide zusammen prognostizieren die zukünftige Inflationsrate, da diese Variablen Erwartungen über die Inflationsentwicklung enthalten. Ähnlich ist es in der Gleichung für die Dividendenrendite Deutschland, für die der verzögerte Aktienindex Prognosekraft besitzt. Darüber hinaus üben auch die Kointegrationsbeziehungen einen Einfluss auf die zukünftigen Werte einiger Variablen aus. Jede der drei Kointegrationsbeziehungen – K1, K2 und K3 – ist in mindestens einer Kurzfristgleichung signifikant. K1 beeinflusst sowohl den Anleiheindex, die Anleiherendite als auch den 1-Jahreszins, während K2 nur auf die Anleiherendite und K3 nur auf die Inflationsrate einen Einfluss ausübt. Alle aufgeführten zehn Gleichungen für die Kurzfristigbeziehungen sowie die drei Kointegrationsbeziehungen werden zusammen mit der Methode der Seemingly Unrelated Regressions (SUR) geschätzt. Die Schätzung erfolgt unter Verwendung von Quartalsdaten für den Zeitraum 1. Quartal 1975 bis 2. Quartal 2006. Mit diesem Modell werden Simulationen aller Variablen für einen Zeitraum von 20 Quartalen in die Zukunft durchgeführt. Dabei wird ein sogenanntes Bootstrap-Verfahren angewandt, das die Korrelationsstruktur zwischen den Zeitreihen unverändert lässt. Konkret werden aus den Residuen der Schätzungen 10.000 Zufallsziehungen (mit Zurücklegen) für den Zeitraum der nächsten 20 Quartale durchgeführt, wobei bei jeder Ziehung immer nur Residuenwerte des gleichen Zeitpunkts t einander zugeordnet werden. Das Ergebnis der Zufallsziehungen ergibt für jede Variable des Modells eine Zeitreihe für die Quartale 02/2006+1 bis 02/2006+20. Nun werden mit den geschätzten Gleichungen des Modells Prognosen für die Periode [02/2006+1 bis 02/2006+20] durchgeführt, wobei die per Zufall gezogenen Zeitreihen aus den Residuen zu den Prognosewerten addiert werden. Dieser Prozess wird 10.000 Mal mit jeweils neuen Zufallsziehungen wiederholt. Auf diese Weise liegen für jedes Quartal der Prognoseperiode 10.000 Prognosewerte für jede Variable des Modells vor, mit denen sich eine realistische Bewertung der Verteilung der Prognosewerte durchführen lässt. 65 Bevor in den Abschnitten 3.4 und 3.5.2.3 die aus diesen simulierten Zeitreihen berechneten Portfolios analysiert und bewertet werden, soll in den Tabellen 7 und 8 zunächst ein Überblick über die Prognosen der Modellvariablen gegeben werden. Tabelle 7 zeigt die wichtigsten statistischen Kennzahlen für die Inflationsrate, den 1-Jahreszins, die Anleiherendite sowie die Dividendenrenditen Deutschland und Welt. Die simulierten zukünftigen Werte der Inflationsrate weisen eine leicht steigende Veränderung für die nächsten fünf Jahre auf, die eine Rückbewegung zum langfristigen Trend von 2,70% (1975–2006) darstellt. 1-Jahreszins und Anleiherendite sind in den letzten 30 Jahren deutlich gesunken. Dieser Trend setzt sich in den Simulationen nicht fort, sondern es kommt zu einer leichten Steigerung über die nächsten fünf Jahre. Beide Zinsen befinden sich damit weiterhin auf einem historisch sehr niedrigen Niveau. Die Dividendenrendite Deutschland verharrt etwa auf dem heutigen Wert von 2,60%, während die Dividendenrendite Welt den abwärts gerichteten Trend der letzten 20 Jahre wieder aufnimmt. Tabelle 7: Simulierte Variablen: Inflation, Zinsen, Dividendenrenditen Kennziffer Inflationsrate 1-Jahreszins Anleiherendite Dividendenrendite DE Dividendenrendite Welt Wert Q2 2006 0,020 0,034 0,041 0,026 0,021 Prognosehorizont 1 Jahr Mittelwert 0,024 0,035 0,045 0,025 0,017 Median 0,024 0,033 0,045 0,024 0,017 Standardabw. 0,012 0,009 0,002 0,004 0,002 Maximum 0,080 0,091 0,052 0,059 0,029 Minimum -0,020 0,015 0,038 0,016 0,011 Prognosehorizont 5 Jahre Mittelwert 0,032 0,038 0,047 0,025 0,016 Median 0,031 0,031 0,046 0,023 0,015 Standardabw, 0,025 0,025 0,009 0,009 0,006 Maximum 0,135 0,248 0,100 0,101 0,054 Minimum -0,056 0,003 0,021 0,008 0,005 Im historischen Vergleich verändern sich alle fünf Zeitreihen allerdings nur unwesentlich über die nächsten 20 Quartale und bleiben in der Regel recht nahe am letzten Wert der Schätzperiode („Wert Q2 2006“). Die Standardabweichung und die Maxima und Minima zeigen, dass die Schwankungsbreite mit dem Prognosehorizont ganz erheblich zunimmt. Für die Inflationsrate ergeben sich in fünf Jahren ein maximaler Wert von 13,50% und ein Minimum von -5,60%. Auch beim 1-Jahreszins ist die Spannbreite von 24,80% (maximal) bis 0,30% (minimal) ganz beachtlich. Dies sind extreme Werte, die nur äußerst selten erreicht werden. Unter der vereinfachenden Annahme einer Normalverteilung befinden sich durchschnittlich 95% der Realisationen im Intervall 66 { 1.96 ., 1.96 .}Mittelwert Standardabw Mittelwert Standardabw? + .60 Bei der Inflationsrate beispielsweise nimmt dieses Intervall für den Prognosehorizont fünf Jahre die Werte {-1,675, 8,075%} an. Dies zeigt, dass der überwiegende Teil der prognostizierten Werte in einem deutlich engeren Intervall liegen dürfte, als dies die Minimalund Maximalwerte angeben, die als „Ausreißer“ nach oben und unten anzusehen sind. Tabelle 8: Simulierte Variablen: Anleiheindex, Aktienindizes, Volatilitäten Kennziffer Anleiheindex Aktienindex DE Aktienindex Welt Volatilität DE Volatilität Welt Wert Q2 2006 105,64 2444,57 2013,30 0,147 0,106 Prognosehorizont 1 Jahr Mittelwert 106,45 2685,97 2193,78 0,173 0,145 Median 106,42 2698,26 2191,28 0,162 0,139 Standardabw. 4,30 583,69 399,04 0,070 0,046 Maximum 125,02 5162,74 3988,46 1,030 0,726 Minimum 90,11 818,50 893,49 0,031 0,039 Prognosehorizont 5 Jahre Mittelwert 107,16 3.919,04 3.084,60 0,191 0,162 Median 106,91 3.537,10 2.888,85 0,176 0,155 Standardabw, 8,74 2.052,77 1.295,69 0,086 0,052 Maximum 147,16 20.372,28 11.086,99 0,954 0,654 Minimum 75,71 345,58 376,71 0,030 0,036 Anmerkungen zu den Tabellen 7 und 8: „Wert Q2 2006“ gibt den letzten Wert der Zeitreihen im Schätzzeitraum an; die statistischen Kennziffern beruhen auf 10.000 Bootstrap-Simulationen für die nächsten vier Quartale („Prognosehorizont 1 Jahr“) und die nächsten 20 Quartale („Prognosehorizont 5 Jahre“). Beim Zinsvergleich fällt auf, dass die Schwankungsbreite des 1-Jahreszinses wesentlich größer ist als bei der Anleiherendite. Auch die beiden Dividendenrenditen, insbesondere für weltweite Aktienanlagen, weisen eher eine gemäßigte Spannbreite der Prognosewerte auf. Dies zeigt, dass die laufenden Einnahmen aus Anleihen und Aktienanlagen sich weniger stark von ihrem jeweiligen Mittelwert entfernen als der 1-Jahreszins, der bei den Simulationen als risikoloser Zins fungiert. Wie Tabelle 8 zeigt, trifft diese Aussage nicht auf die Kursver- änderungen von Anleihen und Aktien zu, deren Schwankungsbreite ausgesprochen groß ist. Der Anleiheindex verändert sich im Mittel nur unwesentlich von dem letzten Wert der Schätzperiode, dagegen nimmt die Standardabweichung mit dem Prognosehorizont deutlich zu. Bei Annahme einer näherungsweise gültigen Normalverteilung befinden sich etwa 95% der 5-Jahres-Prognosewerte im Intervall 60 Diese näherungsweise Berechnung ist hier nur für die Inflationsrate anwendbar, da deren Verteilung ungefähr der Normalverteilung entspricht. Bei den anderen Variablen liegt dagegen näherungsweise eine Log-Normalverteilung vor, so dass die Berechnung auf die logarithmierten Zeitreihen angewandt werden muss. 67 {89,7; 124,2}, so dass ein Anleiheinvestor über diesen Anlagehorizont auch mit beträchtlichen positiven und negativen Wertänderungen rechnen muss. Noch wesentlich ausgeprägter sind diese Wertänderungen bei einer Aktienanlage. Der Mittelwert wird durch die positive Drift der Aktienindizes bestimmt und steigt im Falle deutscher Aktien durchschnittlich um 9,90% pro Jahr an, bei einer weltweiten Aktienanlage beträgt dieser Anstieg 8,90% pro Jahr. Die Standardabweichungen sind schon für eine 1-Jahresanlage mit 583,70 (Deutschland) und 399,00 (Welt) ganz beträchtlich und steigen bei fünf Jahren Anlagehorizont auf 2.052,8 beziehungsweise 1.295,7 an. Der Aktienindex Welt weist sowohl eine geringere Wachstumsrate als auch eine niedrigere Schwankungsbreite auf. Die Relation von Wachstumsrate zu Standardabweichung ist für den Welt-Aktienindex höher als für deutsche Aktien. Dies zeigt sich auch an den Volatilitätszeitreihen, die aus gleitenden 12- Monatswerten berechnet sind. Für beide Zeitreihen wird eine Zunahme über den Prognosezeitraum vorhergesagt, die eine Annäherung an den jeweils deutlich höher liegenden historischen Durchschnitt bewirkt. Die Volatilität des Aktienindex Deutschland ist wesentlich höher als die des Weltindex. Auch die Schwankungsbreite im Prognosezeitraum ist für die deutsche Volatilität erheblich größer. Da beide Zeitreihen für die Bewertung von Put-Optionen verwendet werden, sind die Put-Optionen auf deutsche Aktien unter sonst gleichen Bedingungen teuerer als die für Aktien Welt. 3.4 Ergebnisse der Simulationen für die Anlagestrategien 3.4.1 Methoden der Performancemessung Das in Abschnitt 3.3.3 dargestellte Modell wird für die Simulation von Anlagestrategien deutscher Stiftungen verwendet. Dazu werden – wie zuvor beschrieben – für alle Variablen des Modells 10.000 simulierte Zeitreihen für den zukünftigen Zeitraum von 1 bis 20 Quartalen erzeugt. Die prognostizierten Variablen – Zinsen, Dividendenrenditen, Anleiheindex, Aktienindizes und Volatilitäten – werden dazu verwendet, verschiedene Anlagestrategien zu simulieren. Für jedes dieser Portfolios liegen dann ebenfalls 10.000 Zeitreihen für die Periode von t + 1 bis t + 20 Quartalen vor, auf deren Basis eine umfassende Analyse und Bewertung der Strategien vorgenommen wird. Diese Portfoliobewertung erfolgt mithilfe von bestimmten statistischen Kennzahlen, die speziell auf die Situation deutscher Stiftungen angepasst werden. Das klassische Performancemaß, das sich aus dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) ergibt, ist die Sharpe-Ratio. Es ist folgendermaßen definiert: ( )fSR rµ ?= ? , wobei µ der mittlere Ertrag des Portfolios ist, fr bezeichnet den risikolosen Zins und ? ist die Standardabweichung, die das Risiko des Portfolios abbildet. Die Sharpe-Ratio bemisst den Ertrag des Portfolios als Differenz zum risikolosen